为什么一个字节的存储范围是-128 ~ 127 ?

<强> 1字节=8位(比特)
这8个比特就是8个二进制位,其中有一个是符号为,刚好可以用0和1来代表正负。那么这8个二进制位到底能够表示多大范围的数字呢?对于正数的进制转换相信难不倒大家,也可以参考底部的相关文章,我们先来看一下负数在二进制下是如何表示和转换的。

<强>二、反码与补码
首先把公式立在这里:

正数的补码=原码=反码
负数的补码=反码+ 1
那么首先什么是原码呢?很简单,在我们不考虑符号的情况下,按照进制的转换方法将一个十进制数转换为二进制数,再添加上相应的符号位就完成了。符号位出现在最前(左)面一位,0代表正数,1代表负数。

+ 3→11→根据符号和字节长度补全:0000 0011
5→101→根据符号和字节长度补全:1000 0101
那么为什么会提出反码和补码的概念呢?有两个原因:

<强> 1。反码
保证在二进制下能够正常的进行正负数间的运算。

首先我们来看一下如果直接使用原码存储,在进行正负数运算的时候会出现什么样的情况5 +(3)=2,那么在二进制下的运算也和十进制一样,直接相加,该进位进位,但是符号位没法直接参与运算,换句话说,让计算机直接判断算式最后的正负其实比较困难。
原码计算:0000 0011 + 1000 0101=1000 1000年,结果是:8(不需要纠结最后的符号位应该取什么,因为在计算机中并没有采用这种方法进行计算,只是举例)。显然,直接采用原码计算的这种方式在正数下是没问题的,但是在负数时就不适用了,所以我们需要重新定义一个规则对负数进行处理。
由于在正数下计算是没问题的,那么就可以规定:正数的反码等于原码,负数的反码为除去符号位,其他取反。

+ 3→原码:0000→0011反码:0000 0011
5→原码:1000→0101反码:1111 1010
反码计算后:1111 1101→原码:1000→0010十进制:2。嗯,好像没什么问题了,但是当一个正数和一个负数的运算结果为正数(如:+ 5和3,大家可以自己验证)或者恰好为0时还是会有问题。

<强> 2。补码
+ 0和0的冲突问题。

从相反数的概念我们可以知道,一个正数肯定存在一个与之对应的相反数,对于整数来说我们只要直接改变一下符号位就行了。但是!这个0就很特殊,有一个耳熟能详的概念:0的相反数还是0,这会直接导致进制的转换不是一一对应的关系了。

+ 2→原码:0000→0010反码:0000 0010
2→原码:1000→0010反码:1111 1101
反码计算后:1111 1111→原码:1000→0000十进制:0。结果貌似正确,但是在正数中:0000 0000也同样代表0。那么对1000年于0000年,是不能直接被抹去的,那就让它来代表一个特殊的数字吧:-128。
其实,特殊的不只是这一个数字,如对于Java中的短,占用两个字节,最高一位为符号位,那么就会出现这个数字:1000 0000 0000 0000,从原码上看也是0,对于int类型也是一样,那么这个问题就可以总结为:符号位为1时,其他位均为0,我们应该怎么处理。
于是,为了解决这一类问题,就有了补码的概念:负数的补码=反码+ 1。我们用临界位置的计算来进行举例,如:(2)+ (-126)=-128。

2→原码:1000→00101101→反码:1111补码:1111→1110
-126原码:1111→11100001→反码:1000补码:1000 0010
补码运算结果:1000 0000(该类数字没有原码和反码)
到此我们该敲个黑板,划个重点了:在内存中都是使用补码来进行计算的(整数类型)!

<强>三、字节的数据范围
明确了上面几个概念,那么字节的范围应该就很清楚了。

最大的正数:0111→11112 ^ 7 - 1=127
最大的负数:1000 0000→2 ^ 7=-128

为什么一个字节的存储范围是-128 ~ 127 ?